Leitfaden

Sie sollten in der Lage sein, zu folgenden Themen nicht nur sich selbst, sondern auch anderen gegenüber verständlich Auskunft zu geben. Lassen Sie neben den abstrakten Sätzen die Beispiele nicht zu kurz kommen!

Im folgenden Text befinden sich einige wenige mathematische Symbole  (e, d, È_f , p₁), die nicht jeder Browser korrekt darstellen (oder ausdrucken) kann. Notfalls (und für den Fall, dass Sie einen schönen Ausdruck wollen) können Sie das Ganze auch als PostScript-Datei laden. Eine Literaturliste zur Vorlesung finden Sie hier.

 
topologische Räume:
1. Definition, Beispiele von Topologien, durch eine Metrik definierte Topologie
2. Basen, Sub-Basen, Erzeugung von Topologien
3. Abzählbarkeits-Axiome
4. Abschluss, Inneres, Rand


stetige Abbildungen:

5. Definition, Beispiele
6. offene / abgeschlossene Abbildungen, Homöomorphismen
7. Stetigkeit in einem Punkt
8. Stetigkeit bezüglich durch Metriken definierter Topologien (e-d-Kriterium)
9. Stetigkeit von Einschränkungen, Stetigkeit stückweise definierter Abbildungen
10. Einbettungen
11. Vergleich von Topologien (gröber-feiner)


Produkt-Topologie:

12. cartesische Produkte, kanonische Projektionen
13. Kennzeichnung der Produkt-Topologie
14. Stetigkeit von Abbildungen in Produkt-Räume


Quotienten-Topologie:

15. Kennzeichnung von Quotienten-Topologien und Quotienten-Abbildungen
16. saturierte Mengen
17. Stetigkeit bezüglich der Quotienten-Topologie
18. Quotienten nach Äquivalenz-Relationen
19. kanonische Zerlegung stetiger Abbildungen


Final- und Initial-Topologien:

20. charakteristische (universelle) Eigenschaften für Spur-, Quotienten- und Produkt-Topologien
21. topologische Summe (Co-Produkt)
22. Beschreibung von Final- und Initial-Topologien


Verklebung von Räumen:

23. Definition, Beispiele
24. Einbettung von X\A in ZÈ_f X (für f : A® Z)
25. das Möbiusband, die projektive Ebene


Zusammenhang:

26. Zusammenhangskomponenten
27. Zusammenhang in R, Zwischenwertsatz
28. stetige Bilder, Produkte zusammenhängender Räume
29. Weg-Zusammenhang, Weg-Komponenten
30. Abschluss (weg-)zusammenhängender Teilräume
31. lokaler (Weg-)Zusammenhang


Konvergenz, Filter, Filter-Basen:

32. Folgen: Konvergenz, Häufungspunkte
33. Filter-Basen: Konvergenz, Berühr-Punkte
34. erzeugte Filter, Ultra-Filter
35. Beschreibung von Stetigkeit durch Filter-Basen
36. Folgen(-Stetigkeit) und erstes Abzählbarkeits-Axiom


Trennungs-Eigenschaften:

37. Definitionen, Beispiele, Charakterisierungen
38. Trennungs-Eigenschaften metrischer Räume
39. Einbettung vollständig regulärer Räume in Potenzen des Einheits-Intervalls
40. Vererbung von Trennungs-Eigenschaften auf Unterräume, Produkte und Quotienten
41. Graphen stetiger Funktionen in Hausdorff-Räume
42. Fortsetzbarkeit stetiger Funktionen in reguläre Räume


Kompaktheit:

43. quasi-kompakte Räume: Definition, Charakterisierung
44. stetige Bilder quasi-kompakter Räume, Abbildungen von quasi-kompakten auf Hausdorff-Räume
45. abgeschlossene Teilmengen kompakter Räume
46. Trennungs-Eigenschaften kompakter Räume
47. Satz von Alexander
48. Satz von Tychonoff, Auswahl-Axiom
49. Satz von Heine-Borel
50. Satz von Stone-Weierstraß
51. lokal kompakte Räume: Definition, Beispiele
52. Charakterisierung lokal kompakter Teilmengen in lokal kompakten Hausdorff-Räumen
53. Ein-Punkt-Kompaktifizierung, Beispiele, eigentliche Abbildungen


Homotopie, Fundamentalgruppen:

54. Homotopie von Abbildungen, Weg-Homotopie, (Weg-)Homotopie-Klassen
55. Aneinandersetzen von Wegen, Multiplikation von Weg-Homotopie-Klassen
56. Fundamental-Gruppe p₁(X,a)
57. der Gruppenhomomorphismus p₁(f,a), Funktor-Eigenschaft von p₁.
58. Fundamentalgruppen von Rⁿ
59. Fundamentalgruppen von S₁ und von R²\{0}.
60. Homotopie-Inverse

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