Der Satz von Desargues im projektiven Raum

Gegeben sind zwei Dreiecke  p=(p0,p1,p2)  und  q=(q0,q1,q2),  die bezüglich des Zentrums  z  zentral liegen. Wir betrachten den Fall, dass beide Dreiecke (und damit auch das Zentrum) in einer Ebene  E=<p>=<q>  liegen. Außerdem nehmen wir an (das ist ganz wesentlich!), dass es einen Punkt  c  außerhalb  E  gibt.

Wir führen die Bezeichnungen  a1  für den Schnittpunkt der Verbindungsgeraden  p0p2  mit der Verbindungsgeraden  q0q2  sowie  a2  für den Schnittpunkt von  p0p1  und  q0q1  ein. Die Verbindungsgerade  a1a2  heiße  a. 

Unser Ziel ist nun zu zeigen, dass der Schnittpunkt  a0  von  p1p2  und  q1q2  ebenfalls auf  a  liegt.

Wir benutzen nun den Punkt  c,  um ein Hilfsdreieck  h  zu konstruieren, das zu  p  zentral liegt.
Zuerst wählen wir auf der Geraden  p0c  einen von  p0  und von  c  verschiedenen Punkt  h0.  Für  j  aus  {1,2}  wird dann  hj  definiert als der Schnittpunkt von  pjc  mit  h0a3-j.  Diese Punkte existieren, weil die Geraden  h0a3-j  und  pjc  in der Ebene  <pj,a3-j,h0> =<pj,p0,h0> =<pj,c,h0>  liegen.

Nun soll gezeigt werden, dass die Dreiecke  h  und  q  ebenfalls zentral liegen. Als Zentrum dient der Schnittpunkt  d  der Geraden  zc  und  h0q0  [in der Ebene  <c,h0,z> =<p0,h0,z> =<h0,q0,z> ].

Bis hierher ist die Konstruktion in der folgenden Skizze dargestellt (aus technischen Gründen steht in der Skizze  xk  statt  xk ):

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Man kann die Punkte der Dreiecke  p,q , die Zentren  z,c  sowie den Punkt  h0  in dieser Skizze (mit der Maus) bewegen, um eine bessere Anschauung zu erhalten. Alle anderen Punkte sind durch die genannten festgelegt und bewegen sich entsprechend mit!

Um die Behauptung zu beweisen, dass  h  und  q  bezüglich  d  zentral liegen, betrachten wir die Punktreihe der Geraden  hjd.  Diese ergibt sich offenbar als Schnitt der Ebenen  <c,d,hj> =<c,d,pj> =<z,d,pj> =<z,d,qj>  und  <h0,d,hj> =<h0,q0,hj> =<h0,q0,a3-j> =<h0,q0,qj>.  Weil  hjd  in  <h0,q0,qj>  liegt, existiert der Schnittpunkt  x  von  hjd  und  q0qj.  Nun liegt  x  im Schnitt der Ebenen  <z,d,qj>  und  E , also auf der Geraden  zqj. 
Damit ergibt sich  x  als Schnittpunkt der Geraden  q0qj  und  zqj.  Dies bedeutet, dass  qj=x  auf der Geraden  hjd  liegt -- QED.

Nun zum eigentlichen Ziel: Warum liegt der Punkt  a0  auf der Verbindungsgeraden  a=a1a2 ?

Nach Konstruktion liegen die Punkte  a1  und  a2  sowohl in  E  als auch in  H:=<h0,h1,h2>.  Also beschreibt die Gerade  a  den Schnitt von  E  mit  H.  Da die Dreiecke  p  und  h  zentral liegen, gibt es den Schnittpunkt  y  von  p1p2  und  h1h2.  Dieser muss ebenfalls im Schnitt von  E  und  H,  also auf  a  liegen. Wir können  y  also auch als Schnittpunkt von  h1h2  und  a  beschreiben. Analog erhalten wir den Schnittpunkt der Geraden  h1h2  mit  q1q2  auch als Schnittpunkt von  h1h2  und  a.  Dies bedeutet aber, dass die Geraden  p1p2  und  q1q2  den Punkt  y  gemeinsam haben. Dieser liegt auf  a,  und die Dreiecke  p  und  q  sind als axial liegende erkannt. QED.

Bemerkung:

Der Fall, dass die Dreiecke zentral, aber nicht in einer Ebene liegen, wird im Beweis nebenbei behandelt; etwa anhand der Dreiecke  p  und  h. 
 

erstellt durch Markus Stroppel mit Hilfe von Cinderella
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